Очень ограниченная площадь

Поиск ответа

Всего найдено: 7

Вопрос № 285429

Как написать “ограничеНо” или “ограничеННо” в следующем контексте: “Спешите! Количество рекламных мест ограниче(н/нн)о”.

Ответ справочной службы русского языка

Верно: Спешите! Количество рекламных мест ограниченно .

Вопрос № 270181

Такое предложение – Количество мест ограничено.Одно или два “Н” ? Благодарю.

Ответ справочной службы русского языка

Правильно: Количество мест ограниченно .

Вопрос № 268915

Добрый день! Объясните, пожалуйста, с опорой на справочники:

количество мест (билетов и т. д.) ограничеНо

количество мест ограничеННо ?

И почему? В справочниках нет однозначного ответа. На Грамота.ру – противоречивые ответы. Как быть?

С уважением, корректоры газеты “Заполярная правда”.

Ответ справочной службы русского языка

Правильно: количество мест ограниченно . Здесь ограниченно – краткое прилагательное, пишется с двумя Н. См. словарную фиксацию.

Вопрос № 253311

“Спешите! Количество мест – ограничен(нн)о”. Какой вариант предпочтителен в данном случае?

Ответ справочной службы русского языка

Правильно: количество мест ограниченно (= мест мало).

Вопрос № 241507

Количество мест ограничено (или ограниченно).

Ответ справочной службы русского языка

Верно: количество мест ограниченно ; количество мест ограничено чем-либо.

Вопрос № 229683

К вопросу 229638. Спасибо за ответ. Об этом критерии – наличии дополнения – я читала в ваших ответах и раньше. Экономически – это не дополнение, правильно? Обязательно ли, чтобы дополнение было выражено существительным в творительном падеже (Ее интересы ограничены домом и детьми)? Не раз читала ваши разъяснения насчет написания н и нн в слове огрниченны, но продолжает смущать тот факт, что ВСЕ пишут везде с одним н. Я как редактор старательно исправляю эту ошибку (под влиянием ваших разъяснений), но червячок сомнений остается. Количество мест ограниченно , количество автомобилей ограниченно, количество предложений ограниченно, движение по этой улице ограниченно – это всё один и тот же случай? Хотелось бы услышать ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ответ, чтобы сомнения отпали.

Ответ справочной службы русского языка

_Экономически_ — это не дополнение. Дополнением, влияющим на написание _н_ и _нн_, является имя или местоимение в творительном падеже. В приведенных Вами примерах пишется _нн_.

Вопрос № 217902

В ответе №217878 пронумерова-н-о. В другом ответе Вы писали “количество мест ограниченно “. Объясните, пожалуйста, написание н/нн в словах “ограниченно” и “пронумеровано”. Если можно, без ссылок. Спасибо.

Ответ справочной службы русского языка

Пронумерованный – причастие, а ограниченный в приведенном контексте – прилагательное. В кратких причастиях пишется одно н, в кратких прилагательных – столько же, сколько в полных.

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] ,

S ( G ) = – ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неположительной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f ( x ) или x = g ( y ) .

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Пусть функции y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) будет иметь вид S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) – f 1 ( x ) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 ( y ) и x = g 2 ( y ) : S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) – g 1 ( y ) d y .

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S ( G ) = S ( G 2 ) – S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x – ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S ( G ) = S ( G 2 ) + S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x + – ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S ( G ) = S ( G 2 ) – S ( G 1 ) = – ∫ a b f 2 ( x ) d x – – ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n – 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i – 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 x 1 x 2 . . . x n – 1 x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S ( G i ) = ∫ x i – 1 x i ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i ) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 ( x ) – f ( x ) ) d x = ∫ a b f 2 ( x ) – f 1 ( x ) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) – f 1 ( x ) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f ( x ) и x = g ( y ) .

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = – x 2 + 6 x – 5 и прямыми линиями y = – 1 3 x – 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = – x 2 + 6 x – 5 расположен выше прямой y = – 1 3 x – 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S ( G ) = ∫ 1 4 – x 2 + 6 x – 5 – – 1 3 x – 1 2 d x = = ∫ 1 4 – x 2 + 19 3 x – 9 2 d x = – 1 3 x 3 + 19 6 x 2 – 9 2 x 1 4 = = – 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 – 9 2 · 4 – – 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 – 9 2 · 1 = = – 64 3 + 152 3 – 18 + 1 3 – 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З : x ≥ – 2 x 2 = x + 2 2 x 2 – x – 2 = 0 D = ( – 1 ) 2 – 4 · 1 · ( – 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 – 9 2 = – 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке ( 2 ; 2 ) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S ( G ) = ∫ 2 7 ( x – x + 2 ) d x = x 2 2 – 2 3 · ( x + 2 ) 3 2 2 7 = = 7 2 2 – 2 3 · ( 7 + 2 ) 3 2 – 2 2 2 – 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 – 18 – 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S ( G ) = 59 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = – x 2 + 4 x – 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и – x 2 + 4 x – 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = – x 2 + 4 x – 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени – x 3 + 4 x 2 – 2 x – 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Читайте также:  Впечатление гораздо большей площади, чем есть на самом деле

Корнем этого уравнения является х = 1 : – 1 3 + 4 · 1 2 – 2 · 1 – 1 = 0 .

Разделив выражение – x 3 + 4 x 2 – 2 x – 1 на двучлен x – 1 , получаем: – x 3 + 4 x 2 – 2 x – 1 ⇔ – ( x – 1 ) ( x 2 – 3 x – 1 ) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 – 3 x – 1 = 0 :

x 2 – 3 x – 1 = 0 D = ( – 3 ) 2 – 4 · 1 · ( – 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 – 13 2 ≈ – 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S ( G ) = ∫ 1 3 + 13 2 – x 2 + 4 x – 2 – 1 x d x = – x 3 3 + 2 x 2 – 2 x – ln x 1 3 + 13 2 = = – 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 – 2 · 3 + 13 2 – ln 3 + 13 2 – – – 1 3 3 + 2 · 1 2 – 2 · 1 – ln 1 = 7 + 13 3 – ln 3 + 13 2

Ответ: S ( G ) = 7 + 13 3 – ln 3 + 13 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = – log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = – log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке ( 0 ; 0 ) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения – log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = – log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке ( 2 ; 0 ) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = – log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = – log 2 x + 1 пересекаются в точке ( 1 ; 1 ) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = – log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = – log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S ( G ) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( – log 2 x + 1 ) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S ( G ) = ∫ 0 2 x 3 d x – ∫ 1 2 x 3 – ( – log 2 x + 1 ) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) – g 1 ( y ) ) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и – log 2 x + 1 относительно x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = – log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 – y ⇒ x = 2 1 – y

Получим искомую площадь:

S ( G ) = ∫ 0 1 ( 2 1 – y – y 3 ) d y = – 2 1 – y ln 2 – y 4 4 0 1 = = – 2 1 – 1 ln 2 – 1 4 4 – – 2 1 – 0 ln 2 – 0 4 4 = – 1 ln 2 – 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 – 1 4

Ответ: S ( G ) = 1 ln 2 – 1 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x – 3 , y = – 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = – 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x – 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = – 1 2 x + 4 :

x = – 1 2 x + 4 О Д З : x ≥ 0 x = – 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 – 4 x + 16 ⇔ x 2 – 20 x + 64 = 0 D = ( – 20 ) 2 – 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 – 144 2 = 4 П р о в е р к а : x 1 = 16 = 4 , – 1 2 x 1 + 4 = – 1 2 · 16 + 4 = – 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , – 1 2 x 2 + 4 = – 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ ( 4 ; 2 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = – 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x – 3 :

x = 2 3 x – 3 О Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x – 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 – 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 – 45 x + 81 = 0 D = ( – 45 ) 2 – 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 – 729 8 = 9 4 П р о в е р к а : x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 – 3 = 2 3 · 9 – 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ ( 9 ; 3 ) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x – 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 – 3 = 2 3 · 9 4 – 3 = – 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = – 1 2 x + 4 и y = 2 3 x – 3 :

– 1 2 x + 4 = 2 3 x – 3 ⇔ – 3 x + 24 = 4 x – 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 – 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 – 3 = 1 ⇒ ( 6 ; 1 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = – 1 2 x + 4 и y = 2 3 x – 3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S ( G ) = ∫ 4 6 x – – 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x – 2 3 x – 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 – 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 – x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 – 4 · 6 – 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 – 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 – 9 2 3 + 3 · 9 – 2 3 · 6 3 2 – 6 2 3 + 3 · 6 = = – 25 3 + 4 6 + – 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x – 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = – 1 2 x + 4 ⇒ x = – 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S ( G ) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 – – 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 – y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y – 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 – y 2 d y = = 7 4 y 2 – 7 4 y 1 2 + – y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 – 7 4 · 2 – 7 4 · 1 2 – 7 4 · 1 + + – 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 – – 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.

С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Читайте также:  Создание ассиметричных силуэтов

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):


На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:


Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Ответ:

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .

Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение: Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.

Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Переходим еще к одному содержательному заданию.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:


Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .

Для этого решаем уравнение:


,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

– вокруг оси абсцисс ;

– вокруг оси ординат .

В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс.

Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10453 – | 7708 – или читать все.

Приложение Г. Правила подсчета общей, полезной и расчетной площадей, строительного объема, площади застройки и этажности общественного здания

Правила
подсчета общей, полезной и расчетной площадей, строительного объема, площади застройки и этажности общественного здания

1. Общая площадь здания определяется как сумма площадей всех надземных и подземных этажей (включая технический, мансардный, цокольный).

В общую площадь здания включается площадь антресолей, галерей и балконов зрительных и других залов, веранд, наружных застекленных лоджий и галерей, а также переходов в другие здания.

В общую площадь здания отдельно включается площадь открытых неотапливаемых планировочных элементов здания (включая площадь эксплуатируемой кровли, открытых наружных галерей, открытых лоджий и т.п.).

Площадь многосветных помещений, а также пространство между лестничными маршами более ширины марша и проемы в перекрытиях более 36 следует включать в общую площадь здания в пределах только одного этажа.

Площадь этажа следует измерять в пределах внутренних поверхностей наружных стен.

Площадь этажа при наклонных наружных стенах измеряется на уровне пола.

Площадь мансардного этажа измеряется в пределах внутренних поверхностей наружных стен и стен мансарды, смежных с пазухами чердака, с учетом позиции 5.

2. Полезная площадь здания определяется как сумма площадей всех размещаемых в нем помещений, а также балконов и антресолей в залах, фойе и т.п., за исключением лестничных клеток, лифтовых шахт, внутренних открытых лестниц и пандусов.

3. Расчетная площадь здания определяется как сумма площадей входящих в него помещений, за исключением:

коридоров, тамбуров, переходов, лестничных клеток, внутренних открытых лестниц;

помещений, предназначенных для размещения инженерного оборудования и инженерных сетей.

4. В общую, полезную и расчетную площади здания не включаются площади подполья для проветривания здания на вечномерзлых грунтах; чердака; технического подполья (технического чердака) при высоте от пола до низа выступающих конструкций менее 1,8 м, а также наружных тамбуров, наружных балконов, портиков, крылец, наружных открытых лестниц и пандусов.

Читайте также:  Вертикальное комбинирование обоев в спальне

5. Площадь помещений здания определяется по их размерам, измеряемым между отделанными поверхностями стен и перегородок на уровне пола (без учета плинтусов). Площадь помещения мансардного этажа учитывается с понижающим коэффициентом 0,7 на участке в пределах высоты наклонного потолка (стены) при наклоне 30° – до 1,5 м, при 45° – до 1,1 м, при 60° и более – до 0,5 м.

6. Строительный объем здания определяется как сумма строительного объема выше отметки (надземная часть) и ниже этой отметки (подземная часть).

Строительный объем надземной и подземной частей здания определяется в пределах ограничивающих поверхностей с включением ограждающих конструкций, световых фонарей, куполов и др. начиная с отметки чистого пола каждой из частей здания, без учета выступающих архитектурных деталей и конструктивных элементов, подпольных каналов, портиков, террас, балконов, объема проездов и пространства под зданием на опорах (в чистоте), а также проветриваемых подполий под зданиями на вечномерзлых грунтах.

7. Площадь застройки здания определяется как площадь горизонтального сечения по внешнему обводу здания на уровне цоколя, включая выступающие части. Площадь под зданием, расположенным на столбах, а также проезды под зданием включаются в площадь застройки.

8. При определении этажности здания в число этажей включаются все надземные этажи, в том числе технический этаж, мансардный, а также цокольный этаж, если верх его перекрытия находится выше средней планировочной отметки земли не менее чем на 2 м.

Подполье для проветривания под зданиями на вечномерзлых грунтах, независимо от его высоты, в число надземных этажей не включается.

При различном числе этажей в разных частях здания, а также при размещении здания на участке с уклоном, когда за счет уклона увеличивается число этажей, этажность определяется отдельно для каждой части здания.

Технический этаж, расположенный над верхним этажом, при определении этажности здания не учитывается.

9. Торговая площадь магазина определяется как сумма площадей торговых залов, помещений приема и выдачи заказов, зала кафетерия, площадей для дополнительных услуг покупателям.

Как пишется «ограничено»?

ограничено или ограниченно

Как правильно пишется?

Прилагательное нужно писать с двумя “н” – ограниченно.
С одной «н» пишется причастие – ограничено.

Оба варианта существуют в русском языке. Написание одной или удвоенной “н” зависит от того, к какой части речи относится слово.

Правило для «ограниченно» (прилагательное)

Это прилагательное среднего рода в краткой форме, пишется с двумя «н». В предложениях такое слово является признаком существительного. С двумя «н» пишется также наречие, образованное от такого прилагательного.

Примеры

  • Можешь сделать задание завтра, но помни, что время ограниченно.
  • Общество ограниченно законами и нормами.
  • Ты мыслишь очень ограниченно.

Правило для «ограничено» (причастие)

Слово «ограничено» пишется с одной «н», если это краткое причастие, производное от глагола «ограничивать».

Примеры

  • Его возможности были ограничены законом.
  • Когда свобода ограничена, работать продуктивно не получается.
  • Задание не ограничено требованиями.

А вы знаете..

Какой из вариантов правильный?
(по статистике прошлой недели только 47% ответили правильно)

Не понравилось? – Напиши в комментариях, чего не хватает.

По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.

  1. 1. Алина Сайбель 576
  2. 2. Игорь Проскуренко 280
  3. 3. Лада Шадрова 261
  4. 4. Анастасия Балашова 193
  5. 5. Максим Мощенков 173
  6. 6. Николай Керунов 167
  7. 7. Диана Муравьёва 153
  8. 8. Анастасия Царькова 144
  9. 9. Арина Ким 110
  10. 10. Tetiana Averkina 97
  1. 1. Кристина Волосочева 17,905
  2. 2. Юлия Бронникова 17,770
  3. 3. Ekaterina 17,366
  4. 4. Алина Сайбель 16,750
  5. 5. Darth Vader 16,711
  6. 6. Мария Николаевна 15,775
  7. 7. Лариса Самодурова 15,750
  8. 8. Liza 15,165
  9. 9. TorkMen 14,906
  10. 10. Влад Лубенков 13,530

Самые активные участники недели:

  • 1. Виктория Нойманн – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Bulat Sadykov – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Дарья Волкова – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:

  • 1. Наталья Старостина – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 2. Николай З – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
  • 3. Давид Мельников – подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.

“ОграничеНо” или “ограничеННо” – как правильно пишется?

Чтобы понять, как пишется верно – «ограничено» или «ограниченно», нужно определить часть речи слова.

Правильно употреблять как с одной, так и двумя «н», зависит от контекста.

Правило для написания слова с одной «н» – «ограничено»

Если слово является результатом действия над объектом, то нужно писать одну «н». Это характерно для кратких причастий.

Обозначает признак по действию. Он сопутствует объекту только в данной ситуации, появляется при определенных обстоятельствах.

«Спешите, количество билетов на концерт ограничено!».

То есть организаторы планировали мероприятие на определенное число мест. Для этого они выпустили лимитированное число билетов. Их количество ограничивается организаторами.

Описывается влияние, оказываемое на предмет со стороны, характеристика свойств и качеств отсутствует.

«Движение ограничено плановыми ремонтными работами».

То есть это временное свойство предмета, вызванное действиями городских служб. По окончании ремонта, движение возобновится.

Правописание слова с двумя «нн» – «ограниченно»

Когда предложение описывает признак предмета, используется прилагательное или наречие, пишется две «нн».

«Человек имеет ограниченный доступ к документам».

Можно использовать проверочное слово, применяя его для постановки вопроса (какой доступ?). Значит применяется прилагательное и пишется «нн»;

«Он какой-то ограниченный человек».

Какой человек? Дается характеристика умственным способностям. Можно заменить словосочетанием «не очень умный»;

«Ограниченно годный товар».

Наречие (годный как?).

Нужно помнить, что в наречиях пишется столько же «н», сколько используется в полном прилагательном, от которого оно образовано. К наречию всегда можно задать вопрос «как?». В последнем примере можно заменить полным прилагательным — «ограниченный товар».

Как правильно писать «неограниченно» или «не ограничено»

Правописание с частицей «не» также зависит от части речи. Краткие прилагательные или наречия, образованные от них, пишутся слитно. Поэтому при возникновении подобного вопроса, нужно обратиться к контексту.

Прилагательное позволит употребить вместо него синонимы: «неисчерпаемый», «неиссякаемый», «беспредельный», «безмерный». Также в качестве замены можно использовать слово «безграничный».

Примеры слитного написания:

«Неограниченные возможности при исследовании». То есть они признаются неизмеримыми.

«Неограниченные сроки годности продуктов». Их можно использовать всегда, не обращая внимание на дату производства.

«Неограниченное количество билетов на показ». Значит, все желающие попадут на мероприятие, так как места не закончатся.

Раздельно пишется причастие в краткой форме, например:

«Посещение ресторана не ограничено по возрасту и времени». Руководство позволяет находиться в заведении любое количество времени каждому человеку, без использования запретов.

«Количество мест на лекцию не ограничено». Организаторы разрешают посетить мероприятие всем желающим, без исключения.

Здесь используются краткие причастия, которые можно заменить глаголом, поставив его в прошедшую форму. Это означает, что писать нужно с частицей «не» раздельно, используется одна буква «н».

Часто невозможно сразу определить часть речи, задав вопрос. Бывает, что из контекста не удается выяснить, описывается качество, свойства предмета или признак, являющийся результатом чьего-то действия. Поэтому споры о правильном написании одной или двух «нн» продолжаются и сейчас.

Ссылка на основную публикацию